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% some common command
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\newcommand{\avg}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}
\newcommand{\difFrac}[2]{\frac{\dif #1}{\dif #2}}
\newcommand{\pdfFrac}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
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\newtheorem{Theorem}{定理}[section]
\newtheorem{Definition}{定义}[section]
\newtheorem{Lemma}{引理}
\newtheorem{Corollary}{推论}

\newcounter{comment}[section]

\title{纠错}
\author{庞雷, 颜嘉图, 王何宇, 鲁硕, 关博仁, 胡双,施吉胤,王惠恒}
\date{\today}
\begin{document}
\maketitle

\begin{enumerate}

\item (庞雷) 第 4 页, 右栏, 第 9 行到第 10 行:

... we write $ME_0 < \eta$, $ME_1 < \eta$, ...

应该改为:

... we write $ME_0 \leq \eta$, $ME_1 \leq \eta$, ...

评论: 这里根据前文(第七行) 
\begin{equation}
  \label{eq:initialcondition}
  \max(ME_1,ME_0)=\eta<1,
\end{equation}
知必有 $ME_1 = \eta $ 或 $ME_0 = \eta$, 因此小于号不对, 应该改成小于等
于. 之后步骤中的 $<$ 也自然需要替换成 $\leq$. 但不影响最终结论的成立. 

\item (庞雷) 第 5 页, 左栏, 第 3 行:
  \begin{equation}
    B \leq \left(2 m_\alpha\right)^{1 + r_1^1 + r_1^2 + \cdots + r_1^{n - N}},
  \end{equation}

  应该改为

\begin{equation}
  \label{eq:trueexpansion}
  \begin{split}
    B&:=m_{N+1}^{r_1^{n-N-1}}m_{N+2}^{r_1^{n-N-2}}\cdots m_{n-1}^{r_1^1}m_n^1\\
    &\leq (2m_{\alpha})^{1}(\frac{1}{2}m_{\alpha})^{r_1}\cdots m_{N+1}^{r_1^{n-N-1}}\\
    &\leq 2^{1 - r_1 + r_1^2 -\cdots + (-r_1)^{n - N - 1}}\cdot m_{\alpha}^{1+r_1+r_1^2+\cdots r_1^{n - N - 1}}\\
    &\leq 2^{\sum_{0}^{n - N - 1}(-r_1)^i}\cdot m_{\alpha}^{\sum_{0}^{n - N - 1}r_1^i},
  \end{split}
\end{equation}
其中奇数指数项使用 $m_{\alpha}/2$ 来进行放缩. 由式(\ref{eq:trueexpansion})可知 $B$ 依旧是收敛的.  

评论: 在利用第 4 页 (1.25) 式 对 $B$ 的放缩中, 将所有 $m_n$ 放缩为了
$2 m_{\alpha}$. 而由于 $r_1 < 0$, 对于所有 $n$ 为奇数的项, 指数为负数不能
这样放缩. 应改为(\ref{eq:trueexpansion}).

\item (庞雷)
%\section{Corollary 1.25}
%\subsection{error 1}
评论: 在推 (1.26) 的过程中, 需要用到 $M \rightarrow c$ 这一条件. 因此
若用本来 $K$ 的表达式, 则需要 $\epsilon\rightarrow 0$ 才能满足式
(1.26). 若将 $K$ 的表达式中的 $c$ 改为 Theorem 1.15 中的 $M$ 则不需要
要求 $\epsilon\rightarrow 0$, 更符合本推论所描述的给定 $\epsilon$, 迭
代若干步后使误差小于 $\epsilon$.

\item (庞雷)%\subsection{error 2}
评论: 证明式 (1.27) 时, 利用 Theorem 1.24 中结论
\begin{equation}
  \label{eq:1}
  ME_n \leq (ME_0)^{\frac{r_0^n - r_1^n}{\sqrt{5}}}.
\end{equation}
注意到式 (\ref{eq:1}) 中 $r_1 = (1 - \sqrt{5}) / 2$ 是一个负数, 因此无
法直接像书上证明中将 $r_1^n$ 放缩掉.

由于 $\lvert r_1\rvert < 1$,
我们可以有
\begin{equation}
  \label{eq:true}
  ME_n\leq(ME_0)^{\frac{r_0^n + 1}{\sqrt{5}}},
\end{equation}
从而当 $\epsilon$ 和 $\lvert x_0 - \alpha\rvert$ 足够小时, 有
\begin{equation}
  \label{eq:2}
  r_0^j \leq \frac{\sqrt{5}K - 1}{r_0},
\end{equation}
因此有
\begin{equation}
  \label{eq:3}
  j = \lceil
  \log_{r_0}(K - \frac{1}{\sqrt{5}}) + \mathrm{log}_{r_0}\frac{\sqrt{5}}{r_0}\rceil
  \leq\lceil \log_{r_0}K\rceil + 1.
\end{equation}

\item (鲁硕)第6页右栏，1.8.1节习题2,题目应当改为
\begin{equation}
  n\ge\frac{\log(b_{0}-a_{0})-\log\epsilon-\log a_{0}}{\log 2}.
\end{equation}
原因在于，二分法输出的近似解为二分区间两个端点之一，且无法通过二分法算法本身判定程序输出距离真实解$\tilde{x}$更近或是更远。

\item (关博仁)第7页左栏，1.8.1节习题4，题目中$C$同样和真实解$x^{*}$有关。推导过程如下：
\begin{equation}
  \begin{aligned}
    &x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_0)}\\
    \Rightarrow&x_{n+1}-x^{*}=x_{n}-x^{*}-\frac{f(x_{n})-f(x^{*})}{f'(x_0)}\\
    \Rightarrow&\frac{x_{n+1}-x^{*}}{x_{n}-x^{*}}=1-\frac{f(x_{n})-f(x^{*})}{(x_{n}-x^{*})f'(x_0)}\\
    \Rightarrow&\frac{x_{n+1}-x^{*}}{x_{n}-x^{*}}=1-\frac{f'(\xi(x_{n},x^{*}))}{f'(x_{0})}.
  \end{aligned}
\end{equation}
微分中值定理决定的$\xi$既与$x_{n}$有关，也和$x^{*}$有关，所以常数$C$也与真实解相关。

\item (施吉胤)第 12 页, 左栏, 第 10 行:

... bisequenes given by...

应该改为:

... bisequences given by ...

评论: 这里单词拼写错误。

\item (庞雷)第 10 页，右栏，正中间 Lemma.2.13:

  Lemma.2.13 (2.13)式的证明有些突兀，在此做一些补充。我们令$q_{x}(u)=(u-x)^{j}$，其中$j=1,\cdots,n$(把$x$看作参数)，有$p_{n}(q_{x};u)\equiv q(u).$从而$\sum_{k=0}^{n}(x_{k}-x)^{j}l_{k}(u)\equiv (u-x)^{j}$，令$u=x$，有$\sum_{k=0}^{n}(x_{k}-x)^{j}l_{k}(x)\equiv 0$。

\item (殷文良)第12页，右栏，正中间 Theorem 2.29 Proof中:

  \begin{equation}
    f[x_0,x_1,\dots,x_n] = \sum_{k=0}^n\frac{f_k}{\pi'(x_k)}
  \end{equation}
  等号右边应该改为
  \begin{equation}
    \sum_{k=0}^n\frac{f_k}{\pi_{n+1}'(x_k)}
  \end{equation}

\item (殷文良)第20页，右栏，Theorem 2.42 Proof 倒数第4行：

  "$T_n(x_k')$ attains its extreme values" 中$T_n(x_k')$应该改为$T_n(x)$。

\item (王惠恒)在物理中speed用来表示平均速率而distance表示距离.
  第二章编程作业的D中使用distance和speed容易发生歧义,应改为位移displacement和瞬时速度velocity.

\item (王惠恒)第37页，按照Example 4.58 的定义$\hat{f}(x)=1+\delta_2+x(1+\delta_1+\delta_2+\delta_1\delta_2)$，右上方:
\begin{align*}
    \Rightarrow |\frac{\hat{f}(x)-f(\hat{x})}{f(\hat{x})}|=|\frac{\delta_2}{1+x(1+\delta_1+\delta_2+\delta_1\delta_2)}| \leq \epsilon_u
\end{align*}
应改为
\begin{align*}
    \Rightarrow |\frac{\hat{f}(x)-f(\hat{x})}{f(\hat{x})}|=|\frac{\delta_2}{1+\delta_2+x(1+\delta_1+\delta_2+\delta_1\delta_2)}| \leq \epsilon_u
\end{align*}

\item(王惠恒) 第51页,右上方(b)的$B$要表示上界:
$$\exists B \in R \>\> s.t. \forall n \in N^+, W_n:=\sum_{k=1}^{n}|w_k|<+\infty$$
可改为
$$\forall n \in N^+, W_n:=\sum_{k=1}^{n}|w_k|<+\infty$$
或者
$$\exists B \in R \>\> s.t. \forall n \in N^+, W_n:=\sum_{k=1}^{n}|w_k|<|B|<+\infty$$

\item (庞雷)第11页,左栏,Corollary 2.16 最后1行.\\
The rest follows from the definitions of and the $k$th devided difference.改为The rest follows from the definitions of the $k$th devided difference.(去掉and)

\item (庞雷)第12页,左栏,Corollary 2.23 最后1行.\\
去掉since each $x_{i}\to x_{0}$,因为推论中所给的条件是$x_{n}\to x_{0}$,$\xi$位于$x_{n}$和$x_{0}$之间,足以推出$\xi\to x_{0}$,最后那句since each $x_{i}\to x_{0}$完全是多余的.

\item (庞雷)第41页,左栏,Theorem 5.12 第1行. \\
Theorem 5.12想要说明一堆有限个非零orthogonal elements是线性无关的.但是Proof所用的Definition 5.9却是对orthonormal定义的(orthogonal正交不一定是orthonormal标准正交的),我们可以把Theorem 5.12中的orthogonal elements改为orthonormal elements,或者在前文添加一个关于orthogonal的Definition,在证明的时候引用这个Definition.

\item (庞雷)第42页,右栏,Theorem 5.23 倒数第3行. \\
把orthogonality改为orthonormality,orthogonality(正交性)不足以推出下面的式子,需要使用orthonormality(标准正交性).

\item (庞雷)第43页,右栏,Theorem 5.29 最后1行. \\
关于证明部分令$w=u_{n+1}$,apply Corollary 5.17(引用这个Corollary其实还不如自己证明来的直接),其实这个定理在Theorem 5.14倒数4,5,6行就有$<u_{n+1}-\sum\limits_{k=1}^{n}<u_{n+1},u_{k}^{*}>,u_{j}^{*}>=0$.

\item (庞雷)第44页,左栏,Lemma 5.32 最后第3行. \\
把$\overline{detA}=\overline{detA^{T}}=\sum\limits_{\sigma\in S_{n}}sgn(\sigma)\prod\limits_{i=1}^{n}\overline{a_{\sigma_{i},i}}=detA^{H}$改为$\overline{detA}=\overline{detA^{T}}=\sum\limits_{\sigma\in S_{n}}sgn(\sigma)\prod\limits_{i=1}^{n}\overline{a_{i,\sigma_{i}}}=detA^{H}$,这样才和Definition B.227中$detA=\sum\limits_{\sigma\in S_{n}}sgn(\sigma)\prod\limits_{i=1}^{n}a_{\sigma_{i},i}$保持一致.

\item (庞雷)第44页,右栏,Theorem 5.33 中间那个大矩阵往下2,3行. \\
the $i$th row of each $M_{i}$ is a row of zeros,这句话看起来没有说明问题,但是$j$是一个未知的固定的数,如果$j\neq n$,根据$i\neq j$我们会有$i=1,...,j-1,j+1,...,n$,当$i>j$时,应该是the $i-1$th row of each $M_{i}$ is a row of zeros.

\item (庞雷)第44页,右栏,Theorem 5.33 倒数第9行. \\
本章之前所做的各种讨论基本上在复数域C上,Theorem 5.33也没有强调是在实数域R上(而且该Theorem在C上也是成立的,证明过程基本不变),我们是不是也该考虑是在C上进行证明.\\
第44页右栏倒数第9行(5.31)的$g(u_{1},u_{2},...,u_{n})=\prod\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{a_{kk}^{2}}>0$改为$g(u_{1},u_{2},...,u_{n})=\prod\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{|a_{kk}^{2}|}>0$.\\
第45页左栏第5行$\frac{1}{a_{kk}}=||v_{k}||$改为$\frac{1}{|a_{kk}|}=||v_{k}||$.\\
该Theorem最后一行$\frac{1}{a_{kk}}=||v_{k}||$改为$\frac{1}{|a_{kk}|}=||v_{k}||$.

\item (庞雷)第45页,右栏,Example 5.36 图片. \\
将图片中的物块$m$以及受力分析图中的$mg$改为$m_{j}$和$m_{j}g$来和上下文保持一致.

\item (庞雷)第45页,右栏,Example 5.36 步骤(iii). \\
我们是要证明牛顿第二定律,但是步骤(iii)中的$F_{j}=m_{j}(g-a_{j})$中却使用了我们要去证明的结论,有伪证的嫌疑.
\end{enumerate}
\end{document}

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